一个神奇的猜想是如何被验证的

事先说明

本作者是个初一的蒟蒻，语言可能会过于口语化，不严谨，请多多谅解。
感谢我们班的同学@hxs20120908，他与我一起写下这篇文章。
本篇文章只有最后的润色与其中的一小部分（有标注）使用了 deepseek 大模型，其余纯手算。

前情提要

我和我们班的这个人在探讨一个小问题， $ \sqrt{i} $ 这个数是多少？于是就开始花了一节数学课的时间解这道题。首先，我们知道， $ \sqrt{i} $ 肯定是一个虚数，而作为一个虚数，又肯定会有一个实部和一个虚部，等于 $ a + bi $ ，即为：
设 $ \sqrt{i} = a + bi $ 。
那么，接下来目标就很明确了，就是求 $ a $ 和 $ b $ 的值，我们只需两边平方：
$$
(\sqrt{i} )^ 2 = (a+bi) ^ 2
$$
通过平方和公式得：
$$
\begin{align*}
i &= a^2 + (bi)^2 + 2abi \
&= a^2 - b^2 + 2abi
\end{align*}
$$
接下来就很简单了，我们知道 $ i $ 的实部为 $ 0 $ ，虚部为 $ 1 \times i $ ，而 $ a^2 - b^2 + 2abi $ 的实部为 $ a^2 - b^2 $ ，虚部为 $ 2abi $ ，所以易列出方程组：
$$
\begin{cases}
a^2 - b^2 = 0 \
2ab = 1
\end{cases}
$$
分类讨论一下，当 $ a = -b $ 时，明显是不成立的，所以 $ a = b $ ，所以可得 $ a = b = \pm \sqrt{ \frac{1}{2} } $ ，即 $ a = b = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ ，最后带入原式 $ \sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}i}{2} $ 。

初见弊端

真是 amazing 啊，我那同学提出了一个神奇的猜想，他发现

对于 $z \in \mathbb{C}\setminus{0}$，有 $\arg(\sqrt{z}) = \dfrac{\arg z}{2}$，故 $\overrightarrow{0\sqrt{z}}$ 是 $\overrightarrow{0z}$ 对应辐角的两倍。
用人话讲就是
在复平面上，设复数 $z \neq 0$，其辐角为 $\arg z$。则 $w = \sqrt{z}$ 满足 $$\arg w = \frac{\arg z}{2}$$ 因此，从原点出发到 $w$ 的射线，恰好是原点出发到 $z$ 的射线所对应辐角的角的二分之一。

上面的话用 deepseek 大模型进行了专业化，其实他说的是大概这样的：

在复平面内，取一条 $ 0 $ 到 $ 1 $ 的射线，再去一个任意复数点，作 $ 0 $ 到这个复数的射线，形成了一个角，再将这个复数开平方， $ 0 $ 再到平方根的两点中的一点，其中一条射线会是这个角的二分之一。

有点道理，目前对于所有的实数，还有所有的纯虚数确实都符合这个条件，那么就开始要证明这个神奇的猜想。

CPU开始燃起来了

首先我们先确定了一下大概的难度，不是哥们，初一的让我写高三的。但是，这一下子就激起了我与同学对数学的热爱。首先，我们花了几天的时间在各个地方学习一些必备的知识。然后就是狂算，刚开始花了一星期算，算错方向了，呜呜呜。可是一个星期后，我们终于发现了，这道题要用欧拉公式去证！！！
那就先来讲讲欧拉公式。

欧拉公式

很多人想到的欧拉公式就是：
$$
e^{i\pi} = -1
$$
可这只是欧拉公式的一个特殊情况，真正的应该是：
对于任意 $ z \in \mathbb{C} $ ，都有 $ z = re^{i \theta} = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) $ ，其中 $ r $ 表示到原点的距离， $ \theta $ 表示辐角。

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那么我们就可以设 $ z \in \mathbb{C} \setminus {0} $ 求证： $ \arg(\sqrt{z}) = \frac{\arg z}{2} $ 。首先我们先算 $ \sqrt{z} $ ，从极坐标可设 $ z = re^{i\theta} $ ，但我们知道 $ \arg $ 只需要涉及到角度，与到原点的距离无关，所以不妨重设 $ z = e^{i\theta} $ ，则 $ \sqrt{z} = \sqrt{e^{i\theta}} = e^{i \frac{\theta}{2} } $ ，而 $ \theta = 2 \times \frac{\theta}{2} $ ，所以 $ \arg(z) = \frac{\arg \sqrt{z}}{2} $ ，证毕。

现在已经燃尽了

最后还是特别感谢我的同学@hxs20120908。